lunes, 25 de abril de 2011

Matematicas

De Wikipedia, la enciclopedia libre
 De Wikipedia, la enciclopedia libre

Representación gráfica de la función: y = \sqrt[3]{x}
En matemáticas, la raíz cúbica de un número x\, (expresada \sqrt[3]{x} o x^{1\over3} \,), es el valor numérico tal que, al ser al multiplicado tres veces por sí mismo, da como resultado x\,. Por ejemplo, la raíz cúbica de 27 es 3, ya que 3\times 3\times 3=27.
En general, un número real posee tres raíces cúbicas, una correspondiente a un número real, y las otras dos a números complejos. Así, las raíces cúbicas de 8 son:
\sqrt[3]{8} = \begin{cases} \ \ 2 \\ -1+i\sqrt{3} \\ -1-i\sqrt{3} \end{cases}
La operación de calcular la raíz cúbica de un número es una operación asociativa con la potenciación y distributiva con la multiplicación y división, pero no es asociativa o distributiva con la suma o la resta.

Contenido

[ocultar]

[editar] Definición Formal

Las raíces cúbicas de un número x son números y que satisfacen la ecuación
y^3 = x\,

[editar] Números reales

Si x e y son reales, entonces existe una única solución tal que la ecuación tiene además una única solución, y ésta corresponde a un número real. Si se emplea esta definición, la raíz cúbica de un número negativo es también un número negativo. De esta forma el principio de la raíz cúbica de x es representada igualmente por:
\sqrt[3]{x} = x^{1\over3}
Si x e y son ambos complejos, entonces se puede decir que posee tres soluciones (si x es no nulo) y así x tiene tres raíces cúbicas: una raíz real y dos complejas, en la forma de par conjugado. Este hecho deja interesantes resultados dentro de las matemáticas.
Por ejemplo, las raíces del número uno son:
\sqrt[3]{1} = \begin{cases} \ \ 1 \\ -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \\ -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \end{cases}
Estas dos raíces se relacionan con todas las otras raíces cúbicas de otros números. Si un número es raíz cúbica de un número real las raíces cúbicas pueden ser calculadas multiplicando el número por las raíces de la raíz cúbica de uno.

[editar] Números Complejos

Para los números complejos, el valor principal de las raíces cúbicas se define como:
x^{1\over3} = \exp \left( {\ln{x}\over3} \right)
Donde ln(x) es el logaritmo natural. Si se escribe x como
x = r \exp(i \theta)\,
Donde r es un número real positivo y θ cae en el rango:
-\pi < \theta \le \pi,
entonces la raíz cúbica es
\sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{r}\exp \left( {i\theta \over 3} \right).
Esto significa que en coordenadas polares al tomar la raíz cúbica de un número complejo se está tomando la raíz cúbica del radio y el ángulo polar se está dividiendo en tres partes de tal forma que define las tres raíces. Con esta definición, la raíz cúbica de un número negativo es un número complejo, y por ejemplo \sqrt[3]{-8} no será -2, sino 1 + i\sqrt{3}. En aquellos programas que aceptan resultados imaginarios (tales como Mathematica), el grafo de la raíz cúbica de x en el plano de los números reales dará como resultados valores negativos de la raíz por igual.

[editar] La raíz cúbica en una calculadora de mano

Procedente de la siguiente identidad:
\frac{1}{3} = \frac{1}{2^2} \left(1 + \frac{1}{2^2}\right) \left(1 + \frac{1}{2^4}\right) \left(1 + \frac{1}{2^8}\right) \left(1 + \frac{1}{2^{16}}\right) \dots,
Existe un método simple para poder calcular la raíz cúbica de un número en una calculadora no-científica, la cual requiere sólo las operaciones aritméticas de multiplicación y raíz cuadrada. No se requiere además la memoria. Se describe a continuación:
  • Presiona el botón de raíz cuadrada, una vez.
  • Presiona el botón de multiplicación.
  • Presiona el botón de raíz cuadrada dos veces.
  • Presiona el botón de multiplicación.
  • Presiona el botón de raíz cuadrada cuatro veces.
  • Presiona el botón de multiplicación.
  • Presiona el botón de raíz cuadrada ocho veces.
  • Presiona el botón de multiplicación...
El proceso se continúa hasta que el número que hay en la pantalla permanece sin cambiar en la pantalla, esto es así debido a que tiene que aparecer 1 o un número tal que 0,9999999... (esto significa que se ha llegado al límite de la precisión de la calculadora). En este momento se presiona el botón de raíz cuadrada una vez más y el número que aparece en la pantalla corresponderá la mejor aproximación que la calculadora puede proporcionar de la raíz cúbica del número original. Al calcular la raíz cuadrada al principio y otra al final del algoritmo, se obtiene un menor error relativo que apretando dos veces el botón de raíz cuadrada al principio. En el método anterior si se reemplaza la primera multiplicación por una división, sin modificar el resto del algoritmo, en lugar de averiguar la raíz cúbica se averigua la raíz quinta.

[editar] Cálculo manual de la Raíz cúbica

Al igual que con las raíces cuadradas. existe también una operación que, aunque muy poco utilizada por haber métodos más sencillos para resolverlas, sirve para hallar el resultado de la raíz cúbica de un número dado, la operación es la siguiente:
————————|
  1331  |11
 -1     |——————————————
 ——     |300·1²·3= 900
  0331  | 30·1·3²= 270
  -331  |      3³=  27
  ————  |         ————
   000  |         1197
        |se pasa de 331
        |
        |300·1²·2= 600
        | 30·1·2²= 120
        |      2³=   8
        |         ————
        |          728  
        |se pasa de 331
        |
        |300·1²·1= 300
        | 30·1·1²=  30
        |      1³=   1
        |          ———
        |          331
        |es igual o menor
        |a 331
Explicación de la operación:
  1. Se separan los dígitos de 3 en 3 de derecha a izquierda a la derecha de la coma si no tiene decimales y si los tiene además las cifras decimales se separan de 3 en 3 de izquierda a derecha.
  2. Se busca un número cuyo cubo sea igual o menor (si es menor siempre la cifra más alta posible sin llegar a pasarse) a la primera cifra o conjunto de cifras que se encuentran primero (a la izquierda).
  3. A la primera cifra o conjunto de cifras se le resta ese número cuyo cubo es igual o menor al primer conjunto de cifras, y se pone ese resultado bajándose al lado el siguiente grupo de tres cifras.
  4. Se le restan las cifras que tenemos al resultado de sumar de 300 multiplicado por las últimas cifras que hemos obtenido de la raíz al cuadrado,(si solo tenemos una cifra como en el ejemplo solo una) multiplicado por el número adecuado que será la siguiente cifra de la raíz, sumado a 30 multiplicado por las últimas cifras obtenidas de la raíz multiplicado por el cuadrado de la que será la siguiente cifra de la raíz, sumado al cubo de la que será la siguiente cifra de la raíz. Como en el ejemplo hay que aventurar la cifra que es adecuada y si se pasa el resultado del número que nos hace falta hay que cambiar a la cifra adecuada. La cifra adecuada lógicamente es de una cifra siempre.
  5. Una vez obtenido el número que es igual o menor (si es menor también la cifra más alta posible sin llegar a pasarse) se lo restamos.
  6. Repetimos estos pasos hasta que se nos acaben los grupos de tres. Si la raíz cúbica no es exacta se puede poner una coma y tres grupos de ceros para seguir haciendo las operaciones y obtener cifras decimales para la raíz, que a partir de que alcancemos la coma habiendo terminado de operar los números enteros también tendremos que añadirle una coma.

[editar] Raíz cúbica entera.Método de extracción de un número superior a 1000 y dos decimales.

Pasos a seguir;
  1. Para extraer la raíz cúbica entera de un número entero mayor que 1000, se divide dicho número en grupos de a tres cifras, empezando por la derecha;se extrae la raíz cúbica entera del primer grupo de la izquierda, y se tiene la primera cifra de la raíz ; se eleva esta cifra al cubo, y este cubo se resta del primer grupo de la izquierda.
  2. A la derecha del resto, se baja el grupo siguiente : se separan con un punto las dos primeras cifras de la derecha,y el número que queda a la izquierda se divide por el triplo del cuadrado de la primera cifra de la raíz.
  3. El cociente hallado será la segunda cifra de la raíz, o un número mayor que ella.
  4. Para comprobar si dicho cociente es la segunda cifra de la raíz, se eleva al cubo el número formado por la primera cifra de la raíz y dicho cociente ; y si este cubo puede restarse el número formado por los dos primeros grupos de la izquierda del número propuesto, el cociente hallado es la segunda cifra de la raíz ; más si dicho cubo es mayor que el número formado por las dos primeras secciones, el cociente hallado es mayor que la segunda cifra de la raíz,en cual caso dicho cociente se desminuye en una unidad, y la nueva cifra se comprueba del mismo modo.
  5. Halladas la primera y segunda cifras de la raíz,se resta su cubo del número formado por las dos primeras secciones de la izquierda del número propuesto.
  6. A la derecha del resto, se baja el grupo siguiente ; se separan, con un punto, las dos primeras cifras de la derecha, y el número que queda a la izquierda se divide por el triplo del cuadrado de las dos primeras cifras de la raíz.
  7. El cociente hallado será, lo que se comprueba como anteriormente.
  8. Y así continuamos hasta haber bajado todas las secciones,haber hallado la última cifra de la raíz y el residuo correspondiente, si la raíz es inexacta.
Raiz cubica.JPG

[editar] Raíz cúbica de un quebrado común

Para extraer la raíz cúbica de un quebrado o fracción común, se debe observar, primero, si el numerador y denominador tienen raíz cúbica exacta, en cuyo caso se extraen la raíz del numerador y la del denominador, y se divide la primera por la segunda. Si ambos términos no tienen raíz cúbica exacta, se reduce el quebrado a fracción decimal y se extrae la raíz del número decimal equivalente. Raíz cúbica de un quebrado común.JPG

[editar] Raíces cúbicas de los 27 primeros números enteros positivos por truncamiento

 \sqrt[3]{1} = 1
 \sqrt[3]{2} \approx1.259 \; 921 \; 049 \; 894 \; 873 \; 164 \; 767 \; 210
 \sqrt[3]{3} \approx1.442 \; 249 \; 570 \; 307 \; 408 \; 382 \; 321 \; 638
 \sqrt[3]{4} \approx1.587 \; 401 \; 051 \; 968 \; 199 \; 474 \; 751 \; 705
 \sqrt[3]{5} \approx1.709 \; 975 \; 946 \; 676 \; 696 \; 989 \; 353 \; 108
 \sqrt[3]{6} \approx1.817 \; 120 \; 592 \; 832 \; 139 \; 658 \; 891 \; 211
 \sqrt[3]{7} \approx1.912 \; 931 \; 182 \; 772 \; 389 \; 101 \; 199 \; 116
 \sqrt[3]{8} = 2
 \sqrt[3]{9} \approx2.080 \; 083 \; 823 \; 051 \; 904 \; 114 \; 530 \; 056
 \sqrt[3]{10} \approx2.154 \; 434 \; 690 \; 031 \; 883 \; 721 \; 759 \; 293
 \sqrt[3]{11} \approx2.223 \; 980 \; 090 \; 569 \; 315 \; 521 \; 165 \; 363
 \sqrt[3]{12} \approx2.289 \; 428 \; 485 \; 106 \; 663 \; 735 \; 616 \; 084
 \sqrt[3]{13} \approx2.351 \; 334 \; 687 \; 720 \; 757 \; 489 \; 500 \; 016
 \sqrt[3]{14} \approx2.410 \; 142 \; 264 \; 175 \; 229 \; 986 \; 128 \; 369
 \sqrt[3]{15} \approx2.466 \; 212 \; 074 \; 330 \; 470 \; 101 \; 491 \; 611
 \sqrt[3]{16} \approx2.519 \; 842 \; 099 \; 789 \; 746 \; 329 \; 534 \; 421
 \sqrt[3]{17} \approx2.571 \; 281 \; 590 \; 658 \; 235 \; 355 \; 453 \; 187
 \sqrt[3]{18} \approx2.620 \; 741 \; 394 \; 208 \; 896 \; 607 \; 141 \; 661
 \sqrt[3]{19} \approx2.668 \; 401 \; 648 \; 721 \; 944 \; 867 \; 339 \; 627
 \sqrt[3]{20} \approx2.714 \; 417 \; 616 \; 594 \; 906 \; 571 \; 518 \; 089
 \sqrt[3]{27} = 3
Euclides, matemático griego, del siglo III a. C., tal como fue imaginado por Rafael. Detalle de La Escuela de Atenas.[1]
Las matemáticas o la matemática (del lat. mathematĭca, y éste del gr. μαθηματικά, derivado de μάθημα, conocimiento) es una ciencia que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones cuantitativas entre los entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos).[2] Mediante las matemáticas conocemos las cantidades, las estructuras, el espacio y los cambios. Los matemáticos buscan patrones,[3] [4] formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin.[5]
Existe cierto debate acerca de si los objetos matemáticos, como los números y puntos, realmente existen o si provienen de la imaginación humana. El matemático Benjamin Peirce definió las matemáticas como "la ciencia que señala las conclusiones necesarias".[6] Por otro lado, Albert Einstein declaró que "cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad".[7]
Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico (véase: Historia de la matemática). Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez con la matemática helénica, especialmente con los Elementos de Euclides. Las matemáticas siguieron desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad.
Hoy en día, las Matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica). Las matemáticas aplicadas, rama de las matemáticas destinada a la aplicación de los conocimientos matemáticos a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos también participan en las matemáticas puras, sin tener en cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas puras suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.[8]

Contenido

[ocultar]

[editar] Etimología

La palabra "matemática" (del griego μαθηματικά, «lo que se aprende») viene del griego antiguo μάθημα (máthēma), que quiere decir «campo de estudio o instrucción». El significado se contrapone a μουσική (musiké) «lo que se puede entender sin haber sido instruido», que refiere a poesía, retórica y campos similares, mientras que μαθηματική se refiere a las áreas del conocimiento que sólo pueden entenderse tras haber sido instruido en las mismas (astronomía, aritmética).[9] Aunque el término ya era usado por los pitagóricos en el siglo VI a. C., alcanzó su significado más técnico y reducido de "estudio matemático" en los tiempos de Aristóteles (siglo IV a. C.). Su adjetivo es μαθηματικός (mathēmatikós), "relacionado con el aprendizaje", lo cual, de manera similar, vino a significar "matemático". En particular, μαθηματική τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē; en latín ars mathematica), significa "el arte matemática".
La forma plural matemáticas viene de la forma latina mathematica (Cicerón), basada en el plural en griego τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), usada por Aristóteles y que significa, a grandes rasgos, "todas las cosas matemáticas".

[editar] Historia

Artículo principal: Historia de la matemática
Instrumentos para cálculos matemáticos
Antiguos
Ábaco
Ábaco de Napier
Regla de cálculo
Regla y compás
Cálculo mental
Nuevos
Calculadoras
Ordenadores:
(Lenguajes de programación
software especializado)
La evolución de la matemática puede ser considerada como el resultado de un incremento de la capacidad de abstracción del hombre o como una expansión de la materia estudiada. Los primeros conceptos abstractos utilizados por el hombre, aunque también por muchos animales,[10] fueron probablemente los números. Esta noción nació de la necesidad de contar los objetos que nos rodeaban.
Desde el comienzo de la historia, las principales disciplinas matemáticas surgieron de la necesidad del hombre de hacer cálculos con el fin de controlar los impuestos y el comercio, comprender las relaciones entre los números, la medición de terrenos y la predicción de los eventos astronómicos. Estas necesidades están estrechamente relacionadas con las principales propiedades que estudian las matemáticas — la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio. Desde entonces, las matemáticas han tenido un profuso desarrollo y se ha producido una fructífera interacción entre las matemáticas y la ciencia, en beneficio de ambas. Diversos descubrimientos matemáticos se han sucedido a lo largo de la historia y se continúan produciendo en la actualidad.
Además de saber contar los objetos físicos, los hombres prehistóricos también sabían cómo contar cantidades abstractas como el tiempo (días, estaciones, años, etc.) Asimismo empezaron a dominar la aritmética elemental (suma, resta, multiplicación y división).
Un quipu, utilizado por los Incas para registrar los números.
Los siguientes avances requirieron la escritura o algún otro sistema para registrar los números, tales como los tallies o las cuerdas anudadas —denominadas quipu —, que eran utilizadas por los Incas para almacenar datos numéricos. Los sistemas de numeración han sido muchos y diversos. Los primeros escritos conocidos que contienen números fueron creados por los egipcios en el Imperio Medio, entre ellos se encuentra el Papiro de Ahmes. La Cultura del valle del Indo desarrolló el moderno sistema decimal, junto con el concepto de cero.
Los antiguos babilonios utilizaban el sistema sexagesimal, escala matemática que tiene por base el número sesenta. De este sistema la humanidad heredó la división actual del tiempo: el día en veinticuatro horas - o en dos períodos de doce horas cada uno -, la hora en sesenta minutos y el minuto en sesenta segundos. Los árabes proporcionaron a la cultura europea su sistema de numeración, que reemplazó a la numeración romana. Este sistema prácticamente no se conocía en Europa antes de que el matemático Leonardo Fibonacci lo introdujera en 1202 en su obra Liber abbaci (Libro del ábaco). En un principio los europeos tardaron en reaccionar, pero hacia finales de la Edad Media habían aceptado el nuevo sistema numérico, cuya sencillez estimuló y alentó el progreso de la ciencia.
Los números mayas del 0 al 19.
Los mayas desarrollaron una avanzada civilización precolombina, con avances notables en la matemática, empleando el concepto del cero, y en la astronomía, calculando con bastante precisión los ciclos celestes.

[editar] Grandes matemáticos de la historia

Algunos de los matemáticos más emblemáticos han sido:
Inventor del Teorema de Tales, que establece que, si a un triángulo cualquiera le trazamos una paralela a cualquiera de sus lados, obtenemos dos triángulos semejantes. Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y sus lados son proporcionales, es decir, que la igualdad de los cocientes equivale al paralelismo. Este teorema establece así una relación entre el álgebra y la geometría.
  • Pitágoras: (582-500 a. C.). Fundador de la escuela pitagórica, cuyos principios se regían por el amor a la sabiduría, a las matemáticas y música.
Inventor del Teorema de Pitágoras, que establece que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados del triángulo menores que la hipotenusa y que conforman el ángulo recto). Además del teorema anteriormente mencionado, también inventó una tabla de multiplicar.
  • Euclides: (aproximadamente 365-300 a. C.). Sabio griego, cuya obra "Elementos de Geometría" está considerada como el texto matemático más importante de la historia.
Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Por citar algunos de los más conocidos:
- La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.
- En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras.
  • Arquímedes: (287-212 a. C.). Fue el matemático más importante de la Edad Antigua. También conocido por una de sus frases: "Eureka, eureka, lo encontré". Su mayor logro fue el descubrimiento de la relación entre la superficie y el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe. Su principio más conocido fue el Principio de Arquímedes, que consiste en que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido que desaloja.
  • Fibonacci: (1170-1240). Matemático italiano que realizó importantísimas aportaciones en los campos matemáticos del álgebra y la teoría de números.Famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeración arábiga actualmente utilizado. Descubridor de la Sucesión de Fibonacci, que consiste en una sucesión infinita de números naturales.
  • René Descartes: (1596-1650). Matemático francés, que escribió una obra sobre la teoría de las ecuaciones, en la cual se incluía la regla de los signos, para saber el número de raíces positivas y negativas de una ecuación. Inventó una de las ramas de las matemáticas, la geometría analítica.
  • Isaac Newton: (1643-1727). Matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica. Abordó el teorema del binomio, a partir de los trabajos de John Wallis, y desarrolló un método propio denominado cálculo de fluxiones. Abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones.
  • Gottfried Leibniz: (1646-1716). Matemático alemán, desarrolló, con independencia de Newton, el cálculo infinitesimal. Creó la notación y el corpus conceptual del cálculo que se usa en la actualidad. Realizó importantes aportaciones en el campo de la teoría de los números y la geometría analítica.
  • Galileo Galilei: (1564-1642). Matemático italiano, cuyo principal logro fue el crear un nexo de unión entre las matemáticas y la mecánica. Fue el descubridor de la ley de la isocronía de los péndulos. Se inspira en Pitágoras, Platón y Arquímedes y fue contrario a Aristóteles.
  • Blaise Pascal: (1623-1662). Matemático francés que formuló uno de los teoremas básicos de la geometría proyectiva, que se denominó como Teorema de Pascal y que él mismo llamo Teoría matemática de la probabilidad.
  • Leonhard Euler: (1707-1783). Matemático suizo que realizó importantes descubrimientos en el campo del cálculo y la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de función matemática.
  • Paolo Ruffini: (1765-1822). Matemático italiano que estableció las bases de la teoría de las transformaciones de ecuaciones, descubrió y formuló la regla del cálculo aproximado de las raíces de las ecuaciones, y su más importante logro, inventó lo que se conoce como Regla de Ruffini, que permite hallar los coeficientes del resultado de la división de un polinomio por el binomio (x - r).
  • Joseph-Louis de Lagrange: (1736-1813). Matemático franco-italiano, considerado como uno de los más importantes de la historia, realizó importantes contribuciones en el campo del cálculo y de la teoría de los números. Fue el padre de la mecánica analítica, a la que dio forma diferencial, creó la disciplina del análisis matemático, abrió nuevos campos de estudio en la teoría de las ecuaciones diferenciales y contribuyó al establecimiento formal del análisis numérico como disciplina.
  • Carl Friedrich Gauss: (1777-1855). Matemático alemán al que se le conoce como "el príncipe de las matemáticas". Ha contribuido notablemente en varias áreas de las matemáticas, en las que destacan la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial. Fue el primero en probar rigurosamente el Teorema Fundamental del Álgebra. Inventó lo que se conoce como Método de Gauss, que lo utilizó para resolver sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
  • Pierre-Simon Laplace: (1749-1827). Matemático francés que realizó importantes aportaciones a la teoría de Probabilidades, desarrolló la Ecuación de Laplace,e inventó la Transformada de Laplace, que tiene importantes aplicaciones en la electrónica. Fue un ferviente creedor del Determinismo científico.
  • Augustin Louis Cauchy: (1789-1857). Matemático francés, pionero en el análisis matemático y la teoría de grupos. Ofreció la primera definición formal de función, límite y continuidad. También trabajó la teoría de los determinantes, probabilidad, el cálculo complejo, y las series.
  • Jean-Baptiste Joseph Fourier: (1768-1830). Matemático francés. Estudió la transmisión de calor, desarrollando para ello la Transformada de Fourier; de esta manera, extendió el concepto de función e introdujo una nueva rama dentro de la teoría de las ecuaciones diferenciales.

[editar] Influencia en la astronomía moderna

El astrónomo Tycho Brahe anotó minuciosamente durante largo tiempo observaciones planetarias. Cuando leyó El misterio cosmográfico, quedó impresionado con la percepción matemática y astronómica de Kepler y le invitó a trabajar con él en Benatky, localidad cercana a Praga. Al verse obligado a tener que abandonar Graz debido a la intolerancia religiosa, Kepler aceptó la invitación. Al fallecer Brahe, Kepler le sucedió como matemático imperial de Rodolfo II y analizó las medidas sobre la posición de los planetas. Las medidas del movimiento de Marte, en particular de su movimiento retrógrado, fueron esenciales para que pudiera formular las tres leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas. Posteriormente, estas leyes sirvieron de base a la ley de gravitación universal de Newton.

[editar] Crisis históricas

La matemática ha pasado por tres crisis históricas importantes:[11]
  1. El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos, la existencia de los números irracionales que de alguna forma debilitó la filosofía de los pitagóricos.
  2. La aparición del cálculo en el siglo XVII, con el temor de que fuera ilegítimo manejar infinitesimales.
  3. El hallazgo de las antinomias, como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX, que atacaban los mismos cimientos de la materia.

[editar] La inspiración, las matemáticas puras y aplicadas y la estética

Artículo principal: Belleza matemática
Sir Isaac Newton (1643-1727), comparte con Leibniz la autoría del desarrollo del cálculo integral y diferencial.
Las matemáticas surgen cuando hay problemas difíciles en los que intervienen la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio de los objetos. Al principio, las matemáticas se encontraban en el comercio, en la medición de los terrenos y, posteriormente, en la astronomía. Actualmente, todas las ciencias aportan problemas que son estudiados por matemáticos, al mismo tiempo que aparecen nuevos problemas dentro de las propias matemáticas. Por ejemplo, el físico Richard Feynman inventó la integral de caminos de la mecánica cuántica, combinando el razonamiento matemático y el enfoque de la física. Hoy la teoría de las cuerdas, una teoría científica en desarrollo que trata de unificar las cuatro fuerzas fundamentales de la física, sigue inspirando a las más modernas matemáticas.[12] Algunas matemáticas solo son relevantes en el área en la que estaban inspiradas y son aplicadas para otros problemas en ese campo. Sin embargo, a menudo las matemáticas inspiradas en un área concreta resultan útiles en muchos ámbitos, y se incluyen dentro de los conceptos matemáticos generales aceptados. El notable hecho de que incluso la matemática más pura habitualmente tiene aplicaciones prácticas es lo que Eugene Wigner ha definido como la irrazonable eficacia de las matemáticas en las Ciencias Naturales.[13]
Como en la mayoría de las áreas de estudio, la explosión de los conocimientos en la era científica ha llevado a la especialización de las matemáticas. Hay una importante distinción entre las matemáticas puras y las matemáticas aplicadas. La mayoría de los matemáticos que se dedican a la investigación se centran únicamente en una de estas áreas y, a veces, la elección se realiza cuando comienzan su licenciatura. Varias áreas de las matemáticas aplicadas se han fusionado con otras áreas tradicionalmente fuera de las matemáticas y se han convertido en disciplinas independientes, como pueden ser la estadística, la investigación de operaciones o la informática.
Aquellos que sienten predilección por las matemáticas, consideran que prevalece un aspecto estético que define a la mayoría de las matemáticas. Muchos matemáticos hablan de la elegancia de la matemática, su intrínseca estética y su belleza interna. En general, uno de sus aspectos más valorados es la simplicidad. Hay belleza en una simple y contundente demostración, como la demostración de Euclides de la existencia de infinitos números primos, y en un elegante análisis numérico que acelera el cálculo, así como en la transformada rápida de Fourier. G. H. Hardy en A Mathematician's Apology (Apología de un matemático) expresó la convicción de que estas consideraciones estéticas son, en sí mismas, suficientes para justificar el estudio de las matemáticas puras.[14] Los matemáticos con frecuencia se esfuerzan por encontrar demostraciones de los teoremas que son especialmente elegantes, el excéntrico matemático Paul Erdős se refiere a este hecho como la búsqueda de pruebas de "El Libro" en el que Dios ha escrito sus demostraciones favoritas.[15] [16] La popularidad de la matemática recreativa es otra señal que nos indica el placer que produce resolver las preguntas matemáticas.

[editar] Notación, lenguaje y rigor

Leonhard Euler. Probablemente el más prolífico matemático de todos los tiempos.
Artículo principal: Notación matemática
La mayor parte de la notación matemática que se utiliza hoy en día no se inventó hasta el siglo XVIII.[17] Antes de eso, las matemáticas eran escritas con palabras, un minucioso proceso que limita el avance matemático. En el siglo XVIII, Euler, fue responsable de muchas de las notaciones empleadas en la actualidad. La notación moderna hace que las matemáticas sean mucho más fácil para los profesionales, pero para los principiantes resulta complicada. La notación reduce las matemáticas al máximo, hace que algunos símbolos contengan una gran cantidad de información. Al igual que la notación musical, la notación matemática moderna tiene una sintaxis estricta y codifica la información que sería difícil de escribir de otra manera.
El símbolo de infinito en diferentes tipografías.
El lenguaje matemático también puede ser difícil para los principiantes. Palabras tales como o y sólo tiene significados más precisos que en lenguaje cotidiano. Además, palabras como abierto y cuerpo tienen significados matemáticos muy concretos. La jerga matemática, o lenguaje matematico, incluye términos técnicos como homeomorfismo o integrabilidad. La razón que explica la necesidad de utilizar la notación y la jerga es que el lenguaje matemático requiere más precisión que el lenguaje cotidiano. Los matemáticos se refieren a esta precisión en el lenguaje y en la lógica como el "rigor".
El rigor es una condición indispensable que debe tener una demostración matemática. Los matemáticos quieren que sus teoremas a partir de los axiomas sigan un razonamiento sistemático. Esto sirve para evitar teoremas erróneos, basados en intuiciones falibles, que se han dado varias veces en la historia de esta ciencia.[18] El nivel de rigor previsto en las matemáticas ha variado con el tiempo: los griegos buscaban argumentos detallados, pero en tiempos de Isaac Newton los métodos empleados eran menos rigurosos. Los problemas inherentes de las definiciones que Newton utilizaba dieron lugar a un resurgimiento de un análisis cuidadoso y a las demostraciones oficiales del siglo XIX. Ahora, los matemáticos continúan apoyándose entre ellos mediante demostraciones asistidas por ordenador.[19]
Un axioma se interpreta tradicionalmente como una "verdad evidente", pero esta concepción es problemática. En el ámbito formal, un axioma no es más que una cadena de símbolos, que tiene un significado intrínseco sólo en el contexto de todas las fórmulas derivadas de un sistema axiomático.

[editar] La matemática como ciencia

Carl Friedrich Gauss, apodado el "príncipe de los matemáticos", se refería a la matemática como "la reina de las ciencias".
Carl Friedrich Gauss se refería a la matemática como "la reina de las ciencias".[20] Tanto en el latín original Scientiarum Regina, así como en alemán Königin der Wissenschaften, la palabra ciencia debe ser interpretada como (campo de) conocimiento. Si se considera que la ciencia es el estudio del mundo físico, entonces las matemáticas, o por lo menos matemáticas puras, no son una ciencia.
Muchos filósofos creen que las matemáticas no son experimentalmente falseables, y, por tanto, no es una ciencia según la definición de Karl Popper.[21] No obstante, en la década de 1930 una importante labor en la lógica matemática demuestra que las matemáticas no puede reducirse a la lógica, y Karl Popper llegó a la conclusión de que "la mayoría de las teorías matemáticas son, como las de física y biología, hipotético-deductivas. Por lo tanto, las matemáticas puras se han vuelto más cercanas a las ciencias naturales cuyas hipótesis son conjeturas, así ha sido hasta ahora".[22] Otros pensadores, en particular Imre Lakatos, han solicitado una versión de Falsacionismo para las propias matemáticas.
Una visión alternativa es que determinados campos científicos (como la física teórica) son matemáticas con axiomas que pretenden corresponder a la realidad. De hecho, el físico teórico, J. M. Ziman, propone que la ciencia es conocimiento público y, por tanto, incluye a las matemáticas.[23] En cualquier caso, las matemáticas tienen mucho en común con muchos campos de las ciencias físicas, especialmente la exploración de las consecuencias lógicas de las hipótesis. La intuición y la experimentación también desempeñan un papel importante en la formulación de conjeturas en las matemáticas y las otras ciencias. Las matemáticas experimentales siguen ganando representación dentro de las matemáticas. El cálculo y simulación están jugando un papel cada vez mayor tanto en las ciencias como en las matemáticas, atenuando la objeción de que las matemáticas se sirven del método científico. En 2002 Stephen Wolfram sostiene, en su libro Un nuevo tipo de ciencia, que la matemática computacional merece ser explorada empíricamente como un campo científico.
Las opiniones de los matemáticos sobre este asunto son muy variadas. Muchos matemáticos consideran que llamar a su campo ciencia es minimizar la importancia de su perfil estético, además supone negar su historia dentro de las siete artes liberales. Otros consideran que hacer caso omiso de su conexión con las ciencias supone ignorar la evidente conexión entre las matemáticas y sus aplicaciones en la ciencia y la ingeniería, que ha impulsado considerablemente el desarrollo de las matemáticas. Otro asunto de debate, que guarda cierta relación con el anterior, es si la matemática fue creada (como el arte) o descubierta (como la ciencia). Este es uno de los muchos temas de incumbencia de la filosofía de las matemáticas.
Los premios matemáticos se mantienen generalmente separados de sus equivalentes en la ciencia. El más prestigioso premio dentro de las matemáticas es la Medalla Fields,[24] [25] fue instaurado en 1936 y se concede cada 4 años. A menudo se le considera el equivalente del Premio Nobel para la ciencia. Otros premios son el Premio Wolf en matemática, creado en 1978, que reconoce el logro en vida de los matemáticos, y el Premio Abel, otro gran premio internacional, que se introdujo en 2003. Estos dos últimos se conceden por un excelente trabajo, que puede ser una investigación innovadora o la solución de un problema pendiente en un campo determinado. Una famosa lista de esos 23 problemas sin resolver, denominada los "Problemas de Hilbert", fue recopilada en 1900 por el matemático alemán David Hilbert. Esta lista ha alcanzado gran popularidad entre los matemáticos y, al menos, nueve de los problemas ya han sido resueltos. Una nueva lista de siete problemas fundamentales, titulada "Problemas del milenio", se publicó en 2000. La solución de cada uno de los problemas será recompensada con 1 millón de dólares. Curiosamente, tan solo uno (la Hipótesis de Riemann) aparece en ambas listas.

[editar] Ramas de estudio de las matemáticas

La Sociedad Americana de Matemáticas distingue unas 5.000 ramas distintas de matemáticas.[26] Dichas ramas están muy interrelacionadas. En una subdivisión amplia de las matemáticas, se distinguen cuatro objetos de estudio básicos: la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio.
  • Los diferentes tipos de cantidades (números) han jugado un papel obvio e importante en todos los aspectos cuantitativos y cualitativos del desarrollo de la cultura, la ciencia y la tecnología.
  • El estudio de la estructura comienza al considerar las diferentes propiedades de los números, inicialmente los números naturales y los números enteros. Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números. Después, la organización de conocimientos elementales produjo los sistemas axiomáticos (teorías), permitiendo el descubrimiento de conceptos estructurales que en la actualidad dominan esta ciencia (e.g. estructuras categóricas). La investigación de métodos para resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra abstracta. El importante concepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio.
  • El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría euclídea y luego la trigonometría. En su faceta avanzada el surgimiento de la topología da la necesaria y correcta manera de pensar acerca de las nociones de cercanía y continuidad de nuestras concepciones espaciales.
Derivada.
  • La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y del cálculo. Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio, se estudian las ecuaciones diferenciales y de sus soluciones. Los números usados para representar las cantidades continuas son los números reales. Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de función matemática. Los conceptos de derivada e integral, introducidos por Newton y Leibniz, representan un papel clave en este estudio, que se denomina Análisis. Es conveniente para muchos fines introducir los números complejos, lo que da lugar al análisis complejo. El análisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incógnita es una función, pensándola como un punto de un espacio funcional abstracto.
Un campo importante en matemática aplicada es el de la estadística, que permite la descripción, el análisis de probabilidad y la predicción de fenómenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias.
El análisis numérico investiga los métodos para realizar los cálculos en computadoras.
A continuación se muestra una lista de las ramas interrelacionadas de las matemáticas:
Fundamentos y métodos
Teoría de conjuntos, lógica matemática, teoría de categorías.
Investigación operativa
Teoría de grafos, teoría de juegos, programación entera, programación lineal, Simulación, optimización, método simplex, programación dinámica.
Números
Números naturales, números enteros, números racionales, números irracionales, número reales, números complejos, cuaterniones, octoniones, sedeniones, números hiperreales, números infinitos, dígito, sistema de numeración, número p-ádico.
Análisis, continuidad y cambio
Cálculo, cálculo vectorial, análisis, ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y teoría del caos, funciones, logaritmo, sucesiones, series, análisis real, Análisis complejo, análisis funcional, álgebra de operadores.
Estructuras
Algebra abstracta, teoría de números, álgebra conmutativa, geometría algebraica, teoría de grupos, monoides, análisis, topología, álgebra lineal, teoría de grafos, teoría de categorías.
Espacios
Topología, geometría, teoría de haces, geometría algebraica - Geometría diferencial - Topología diferencial - Topología algebraica - Álgebra lineal - Cuaterniones y rotación en el espacio
Matemática discreta
Combinatoria, Teoría de conjuntos numerables - Probabilidad discreta - Estadística - Teoría de la computación - Criptografía - Teoría de grafos - Teoría de juegos
Matemática aplicada
Estadística, física matemática, matemática financiera, teoría de juegos, optimización, análisis numérico, Lógica difusa.

[editar] Conceptos erróneos

Lo que cuenta como conocimiento en matemática no se determina mediante experimentación, sino mediante demostraciones. No es la matemática, por lo tanto, una rama de la física (la ciencia con la que históricamente se encuentra más emparentada), puesto que la física es una ciencia empírica. Por otro lado, la experimentación desempeña un papel importante en la formulación de conjeturas razonables, por lo que no se excluye a ésta de la investigación en matemáticas.
La matemática no es un sistema intelectualmente cerrado, donde todo ya esté hecho. Aún existen gran cantidad de problemas esperando solución, así como una infinidad esperando su formulación.
Matemática no significa contabilidad. Si bien los cálculos aritméticos son importantes para los contables, los avances en matemática abstracta difícilmente cambiarán su forma de llevar los libros.
Matemática no significa numerología. La numerología es una pseudociencia que utiliza la aritmética modular para pasar de nombres y fechas a números a los que se les atribuye emociones o significados esotéricos, basados en la intuición.
El lenguaje formal no es una simple extensión de los lenguajes naturales humanos que utiliza una gramática y un vocabulario definidos con extrema precisión, cuyo propósito es la descripción y exploración de relaciones conceptuales y físicas. Recientemente, los avances en el estudio del lenguaje humano apuntan en una dirección diferente: los lenguajes naturales (como el español o el francés, por ejemplo) y los lenguajes formales (como el matemático o los lenguajes de programación) son estructuras de naturaleza básicamente diferente.

[editar] Véase también

[editar] Referencias

  1. En la antigüedad nadie hizo un retrato o una descripción de la apariencia física de Euclides mientras estaba vivo. Por lo tanto, la representación de Euclides en las obras de arte varía en función de la imaginación de cada artista (véase Euclides).
  2. «matemática», Diccionario de la lengua española (vigésima segunda edición), Real Academia Española, 2001, http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=matem%C3%A1tica 
  3. Steen, LA (29 de abril de 1988). Mathematics:The Science of Patterns (Scientific American Library, 1994) Science, 240: 611-616.
  4. Matemáticas: La ciencia de los patrones: La búsqueda de la Orden en la vida, la mente y el Universo. Scientific American. ISBN 9780716750475. 
  5. Jourdain
  6. Peirce, p.97
  7. Einstein, p. 15. La cita es la respuesta de Einstein a la pregunta: "¿Cómo puede ser que las matemáticas, siendo después de todo un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia, estén tan admirablemente adaptadas a los objetos de la realidad? [1]"
  8. Peterson
  9. Heath, Thomas (1921). A History of Greek Mathematics.. Oxford, Clarendon Press. OCLC 2014918. 
  10. S. Dehaene, Dehaene-Lambertz G. y L. Cohen, Resumen de los números de las representaciones en el cerebro humano y animal,Tendencias en Neurociencias, vol. 21 (8), agosto de 1998, 355-361. http://dx.doi.org/10.1016/S0166-2236 (98) 01263-6.
  11. El dedo de Galileo. Peter Atkins. En Espasa Calpe-2003
  12. Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L. (2002). Oxford University Press. ed. The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus. 
  13. Eugene Wigner, 1960, "La irracional eficacia de las matemáticas en la de Ciencias Exactas y Naturales" Communications on Pure and Applied Mathematics13 '(1): 1-14.
  14. Hardy, GH (1940). A Mathematician's Apology. 
  15. Oro, Bonnie; Simons, A. Rogers (2008). MAA. ed. Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy. 
  16. Aigner, Martin; Ziegler, M. Gunter (2001). Proofs from the Book. 
  17. Utilización de diversos símbolos matemáticos (Véase Anexo:Símbolos matemáticos)
  18. Véase falsa demostración para comprobar mediante ejemplos sencillos los errores que se pueden cometer en una demostración oficial. El teorema de los cuatro colores contiene ejemplos de demostraciones falsas aceptadas accidentalmente por otros matemáticos del momento.
  19. Ivars Peterson,La matemática turística, Freeman, 1988, ISBN 0-7167-1953-3. p. 4 "Algunos se quejan de que el programa de ordenador no puede ser verificado correctamente," (en referencia a la Haken de Apple la prueba de color Teorema de los Cuatro).
  20. Waltershausen
  21. Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998). Fuera de su mente: La vida y de 15 de los Grandes Descubrimientos científicos. p. 228. 
  22. Popper 1995, p. 56
  23. Ziman
  24. «Actualmente la Medalla Fields es sin duda el mejor y el más influyente premio en las matemáticas». Monastyrsky
  25. Riehm
  26. Clasificación bibliográfica de la Sociedad Americana de Matemáticas de 2010

[editar] Bibliografía

[editar] Enlaces externos

Wikilibros
  • Colabora en Wikiquote Wikiquote alberga frases célebres de o sobre Matemáticas. Wikiquote
  • Colabora en Wikcionario Wikcionario tiene definiciones para matemática.Wikcionario
  • Colabora en Wikisource. Wikisource contiene obras originales de o sobre Categoría:Matemáticas.Wikisource
  • Más de 250 vídeos de matemáticas.
  • Curso de matemáticas dirigido a estudiantes de ingeniería de sistemas. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Antioquia.
  • Conexiones Matemáticas
  • Real Sociedad Matemática Española
  • Sitio Interactivo de Análisis NuméricoRAÍCES
    Definición de Raíz
    Potencia de exponente racional
    Toda potencia de exponente racional, de la forma m/n , corresponde a la raíz enésima de la emésima potencia de a:
    Potencia de
 exponente racional
    Propiedades de las raíces:
    Raíz de un producto Raíz de 
un producto
    Raíz de un cuociente Raíz de 
un cuociente
    Raíz de una potencia Raíz de 
un potencia
    Raíz de una raíz Raíz de 
una raíz
    Amplificación de una raíz Amplificación de una raíz
    Simplificación de una raíz Simplificación de una raíz
    Racionalización
    Se debe evitar que una raíz quede en el denominador ya que complica la comparación con otra expresión o estimar su valor. Para ello hay que multiplicar el numerador y el denominador por la misma raíz de la siguiente forma:
    racionalización

    En esta expresión tenemos dos términos en el denominador, el cual se puede racionalizar multiplicando por ya que formarán una Suma por Diferencia, lo que permite eliminar las raíces en el denominador.
    racionalización

    I. Aplicar las propiedades de raíces a los siguientes ejercicios:
    ejercicios de 
raíces
    ejercicios de 
raíces
    II. Desarrollar las operaciones indicadas:
    ejercicios de 
raíces
    III. Racionalizar las siguientes expresiones:
    ejercicios de 
raíces

    tágoras

    De Wikipedia, la enciclopedia libre
    Pythagorean.svg
    Teorema de Pitágoras
    En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

    El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
    Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes  a \, y  b \,, y la medida de la hipotenusa es  c \,, se establece que:
    (1)   c^2 = b^2 + a^2 \,
    De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:
    Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas
     a = +\sqrt {c^2 - b^2}  b= +\sqrt{c^2-a^2}  c = +\sqrt {a^2 + b^2}

    Contenido

    [ocultar]

    [editar] Historia

    El Teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros, pero no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.

    [editar] Designaciones convencionales

    Triángulos — Resumen de convenciones de designación
    Vértices A B C
    Lados (como segmento) BC AC AB
    Lados (como longitud) a b c
    Ángulos  \widehat{\alpha} = \widehat{a} = \widehat{A} = \widehat{BAC}  \widehat{\beta} = \widehat{b} = \widehat{B} = \widehat{ABC}  \widehat{\gamma} = \widehat{c} = \widehat{C} = \widehat{ACB}

    [editar] Demostraciones

    El Teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de Magíster matheseos.
    Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.
    En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.

    [editar] China: el Chou Pei Suan Ching, y el Chui Chang Suang Shu

    Prueba visual para un triángulo de a = 3, b = 4 y c = 5 como se ve en el Chou Pei Suan Ching, 500-200 a. C.
    Pythagoras-2.gif
    El Chou Pei es una obra matemática de datación discutida en algunos lugares, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 a. C. Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al Chui Chang parece que es posterior, está fechado en torno al año 250 a. C.
    El Chou Pei demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.
    Demostración
    Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:
     a^2 + b^2 = c^2\,
    Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:
    (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \,
    Ya que (b-a)^2 = (a-b)^2 \, .
    Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triángulos de altura a y base b que están dentro de él más el área del cuadrado menor:
    c^2 = 4 \cdot \left( \frac{a \cdot b}{2} \right) + a^2 - 2ab + b^2= a^2 + b^2
    Con lo cual queda demostrado el teorema.

    [editar] Demostraciones supuestas de Pitágoras

    Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.
    Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.[1]
    Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.
    Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.
    • De la semejanza entre ABC y AHC:
    y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

    \frac {b}{b'}=\frac {c}{b}
    b^2\ =\ b'c

    • De la semejanza entre ABC y BHC:

    \frac {a}{a'}=\frac {c}{a}

    a^2\ =\ a'c

    Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:
    a^2\ +\ b^2 =a'c\ +\ b'c\ =\ c\left (a'+b'\right )
    Pero \left (a'+b'\right )=\ c, por lo que finalmente resulta:
    a^2\ +\ b^2 =c^2
    La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema
    Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.
    Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:
    \frac {r}{u}=\frac {s}{v} = r
    siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:
    S_{PQR}\ =\ \frac {1}{2} \left ( rs \right )
    S_{PST}\ =\ \frac {1}{2} \left ( uv \right )
    obtenemos después de simplificar que:
    \frac {S_{PQR}}{S_{PST}}=\frac {rs}{uv} = \frac {r}{u} \cdot \frac {s}{v}
    pero siendo \frac {r}{u}=\frac {s}{v} = r la razón de semejanza, está claro que:
    \frac {S_{PQR}}{S_{PST}}= \left (\frac {r}{u} \right )^2 = \left ( \frac {s}{v} \right ) ^2
    Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".
    Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:
    \frac {S_{ACH}}{S_{BCH}}= \left (\frac {b}{a} \right )^2
    que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:
    \frac {S_{ACH}} {b^2} = \frac {S_{BCH}} {a^2} = \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 } (I)
    y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:
    \frac {S_{ACH}}{S_{ABC}}= \left (\frac {b}{c} \right )^2
    \frac {S_{ACH}}{b^2} = \frac {S_{ABC}} {c^2}
    pero según (I) \frac {S_{ACH}} {b^2} = \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 }, así que:
     \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 } = \frac {S_{ABC}} {c^2}
    y por lo tanto:
     b^2 \ +\ a^2 \ = \ c^2
    quedando demostrado el teorema de Pitágoras.
    Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda demostrado.
    Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.
    Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a, b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados diferentes:
    • Uno de ellos –centro- está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.
    • El otro cuadrado –derecha- lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.
    Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris (c2) equivale a la de los cuadrados amarillo y azul (b2 + a2), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.

    [editar] Demostración de Euclides: proposición I.47 de Los Elementos

    Figura Euclides 1: La proposición I.41[2] de Euclides. La superficie del rectángulo ABCD es el doble de la de cualquiera de los triángulos: sus bases son la misma –DC-, y están entre las mismas paralelas. Esto es cuanto necesita Euclides para demostrar el teorema de Pitágoras.
    Figura Euclides 2: La proposición I.36[3] de Euclides: los paralelogramos ABCD y EFCD tienen áreas equivalentes, por tener igual base, y estar comprendidos entre las mismas paralelas.
    Figura Euclides 3: La demostración de Euclides es puramente geométrica. Su columna vertebral es la sencilla proposición I.41[2] de Los Elementos.
    El descubrimiento de los números irracionales por Pitágoras y los Pitagóricos supuso un contratiempo muy serio.[4] De pronto, las proporciones dejaron de tener validez universal, no siempre podían aplicarse. La demostración de Pitágoras de su teorema se basaba muy probablemente en proporciones, y una proporción es un número racional. ¿Sería realmente válida como demostración? Ante esto, Euclides elabora una demostración nueva que elude la posibilidad de encontrarse con números irracionales.
    El eje de su demostración es la proposición I.47[5] de Los Elementos:
    En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.

    Euclides (proposición I.47)
    Basándose en la proposición I.41[2] de Los Elementos, que equivale a decir que a igual base y altura, el área del paralelogramo dobla a la del triángulo, (véase Figura Euclides 1).
    Se tiene el triángulo ABC, rectángulo en C (véase Figura Euclides 3), y se construye los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa. La altura CH se prolonga hasta J. Seguidamente se traza cuatro triángulos, iguales dos a dos:
    • Triángulos ACK y ABD: son iguales, pues siendo AD=AC, y AK=AB, necesariamente BD=CK. Sus tres lados son iguales.
    • Triángulos ABG y CBI: análogamente, AB=BI, y BG=BC, así que AG=CI. Sus tres lados son asimismo iguales.
    Abundando en las anteriores consideraciones, nótese que un giro con centro en A, y sentido positivo, transforma ACK en ABD. Y un giro con centro en B, y sentido también positivo, transforma ABG en CBI. En la demostración de Leonardo da Vinci se encontrará nuevamente con giros que demuestran la igualdad de figuras.
    Véase (en la Figura Euclides 3) que:
    1. Las paralelas r y s comprenden al triángulo ACK y el rectángulo AHJK, los cuales tienen la misma base, AK. Por tanto de acuerdo con la proposición I.41[2] de Los Elementos, AHJK tiene doble área que ACK, (véase Figura Euclides 1).
    2. Las paralelas m y n contienen a ABD y ADEC, cuya base común es AD. Así que el área de ADEC es doble de la de ABD.
    Pero siendo ACK=ABD, resulta que el rectángulo AHJK y el cuadrado ADEC tienen áreas equivalentes. Haciendosé razonamientos similares con los triángulos ABG y CBI, respecto al cuadrado BCFG y al rectángulo HBIJ respectivamente, se concluye que éstos últimos tienen asimismo áreas iguales. A partir de lo anterior, surge de inmediato que: "la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa".

    [editar] Demostración de Pappus

    La proposición I.36[3] de Euclides: los paralelogramos ABCD y EFCD tienen áreas equivalentes, por tener igual base, y estar comprendidos entre las mismas paralelas.
    La demostración de Pappus parece ser unas musicales variaciones sobre un mismo tema, respecto a la de Euclides.
    Unos 625 años después que Euclides, Pappus[6] parece seguir su senda, y desarrolla una demostración del teorema de Pitágoras basada en la proposicón I.36[3] de Los Elementos de Euclides:
    Dos paralelogramos de igual base, y entre las mismas paralelas, tienen superficies equivalentes.
    Partimos del triángulo ABC rectángulo en C, sobre cuyos catetos e hipotenusa hemos construido los cuadrados correspondientes.
    Prolongando CH hacia arriba se obtiene el rectángulo CEGI cuya diagonal CG determina en aquél dos triángulos rectángulos iguales al triángulo ABC dado:
    • Los ángulos agudos GCI y ABC tienen sus lados perpendiculares
    • El lado CI es igual al lado CB
    En consecuencia los triángulos rectángulos ABC, ICG y EGC tienen sus tres lados iguales.
    1. Los paralelogramos ACGF y AHMN tienen la misma base CG=HM, y están comprendidos entre las mismas paralelas, r y s. Por lo tanto tienen la misma superficie (Elementos I.36)
    2. Aplicando el mismo principio a ACGF y ACED –base común AC, y paralelas m y n- resulta que ambos paralelogramos tienen superficies asimismo equivalentes.
    De 1) y 2) se sigue que las superficies de ACED y AHMN son iguales.
    Análogamente:
    1. CGJB y BLMH tienen la misma base CG=MH, y están comprendidos entre las paralelas s y t. Sus superficies son equivalentes.
    2. CGJB y CIKB tienen base común CB, y están entre las paralelas o y p. Sus superficies son iguales.
    De dónde se deduce la equivalencia de las superficies de BLMH y de CIKB.
    El teorema de Pitágoras queda demostrado.

    [editar] Demostración de Bhaskara

    Bhaskara desarrolla una demostración gráfica y algebraica del teorema de Pitágoras.
    Bhaskara II, el matemático y astrónomo hindú del siglo XII, nos da la siguiente demostración del teorema de Pitágoras.
    Con cuatro triángulos rectángulos de lados a, b y c se construye el cuadrado de lado c –izquierda-, en cuyo centro se forma otro cuadrado de lado (a-b).
    Redistribuyendo los cuatro triángulos y el cuadrado de lado (a-b), construimos la figura de la derecha, cuya superficie resulta ser la suma de la de dos cuadrados: uno de lado a –azul- y otro de lado b -naranja-.
    Se ha demostrado gráficamente que c2 = a2 + b2
    Algebraicamente: el área del cuadrado de lado c es la correspondiente a los cuatro triángulos, más el área del cuadrado central de lado (a-b), es decir:

    c^2=4 \cdot \frac {ab}{2}+ (a-b)^2

    expresión que desarrollada y simplificada nos da el resultado c2 = a2 + b2, y el teorema queda demostrado.

    [editar] Demostración de Leonardo da Vinci

    El diseño inicial, con el triángulo y los cuadrados de catetos e hipotenusa, es modificado por Leonardo da Vinci al añadir dos triángulos iguales al ABC: el ECF y el HIJ.
    En el elenco de inteligencias que abordaron el teorema de Pitágoras no falta el genio del Renacimiento, Leonardo da Vinci.
    Partiendo del triángulo rectángulo ABC con los cuadrados de catetos e hipotenusa, Leonardo añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado, resultando dos polígonos, cuyas superficies va a demostrar que son equivalentes:
    1. Polígono ADEFGB: la línea DG lo divide en dos mitades idénticas, ADGB y DEFG.
    2. Polígono ACBHIJ: la línea CI determina CBHI y CIJA.
    Comparemos los polígonos destacados en gris, ADGB y CIJA:
    • De inmediato vemos que tienen tres lados iguales: AD=AC, AB=AJ, BG=BC=IJ
    • Asimismo es inmediata la igualdad entre los ángulos de los siguientes vértices:
      • A de ADGB y A de CIJA
      • B de ADGB y J de CIJA
    Se concluye que ADGB y CIJA son iguales.
    De modo análogo se comprueba la igualdad entre ADGB y CBHI.
    Además, de un modo semejante a lo explicado en la demostración de Euclides, nótese que un giro de centro A, y sentido positivo, transforma CIJA en ADGB. Mientras que un giro de centro B, y sentido negativo, transforma CBHI en ADGB.
    Todo ello nos lleva a que los polígonos ADEFGB y ACBHIJ tienen áreas equivalentes. Pues bien, si a cada uno le quitamos sus dos triángulos –iguales- las superficies que restan forzosamente serán iguales. Y esas superficies no son sino los dos cuadrados de los catetos en el polígono ADEFGB, por una parte, y el cuadrado de la hipotenusa en el polígono ACBHIJ, por la otra. El teorema de Pitágoras queda demostrado.

    [editar] Demostración de Garfield

    El polígono construido por Garfield es un trapecio de bases a y b, compuesto por tres triángulos rectángulos.
    James Abram Garfield (1831-1881), el vigésimo Presidente de los Estados Unidos,[7] desarrolló una demostración del teorema de Pitágoras publicada en el New England Journal of Education.
    Garfield construye un trapecio de bases a y b, y altura (a+b), a partir del triángulo rectángulo de lados a, b y c. Dicho trapecio resulta compuesto por tres triángulos rectángulos: dos iguales al dado, y un tercero, isósceles de catetos c. En consecuencia:
    (g.1) S_{trapecio}=\frac {a+b}{2} \cdot (a+b)
    como corresponde a la superficie del trapecio, pero asimismo tenemos una figura compuesta por tres triángulos, dos de ellos iguales, de modo que:
    (g.2) S=2 \cdot \frac {ab}{2} + \frac  {c^2}{2}
    igualando la ecuación (g.2) con la (g.1) obtenemos:
    (ab) + \frac {c^2}{2} = \frac {1}{2} (a+b) \cdot (a+b)
    pasando el ½ al otro miembro y simplificando ...
    2ab + c2 = (a + b)2
    expandiendo el miembro derecho ...
    2ab + c2 = a2 + 2ab + b2
    restando (2 a b) a ambos miembros, finalmente nos da:
    c2 = a2 + b2
    y el teorema está demostrado.

    [editar] Véase también

    [editar] Notas

    1. Una vez descubiertos los números irracionales esta demostración quedaba invalidada. Será Euclides el primero en prescindir de la proporcionalidad para demostrar el teorema.
    2. a b c d Euclides Los Elementos, proposición I.41 → "Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está contenido entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del triángulo".
    3. a b c Euclides Los Elementos, proposición I.36 → "Los paralelogramos que tienen las bases iguales y están contenidos entre las mismas paralelas, son iguales entre sí".
    4. Los pitagóricos habían llegado a la conclusión de que el número racional lo explicaba todo. Por eso el descubrimiento de los números irracionales causó un verdadero trauma. Juraron mantener el secreto de lo descubierto pero, según la leyenda (¿o realidad?) el pitagórico Hipaso de Metaponto lo reveló. En represalia, sus compañeros invocaron la ira de los dioses e Hipaso murió en un naufragio.
    5. Euclides Los Elementos, proposición I.47 → "En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto".
    6. Pappus nació en Alejandría -Pappus de Alejandría- sobre el año 290, y murió alrededor del 350. Es el último de los grandes geómetras griegos.
    7. James A. Garfield murió el 19 de septiembre de 1881, a consecuencia de un atentado sufrido el 2 de julio del mismo año. Fue el segundo Presidente asesinado, después de Abraham Lincoln. Su demostración del teorema de Pitágoras es de 1876, cuando era miembro de la Cámara de Representantes.

    [editar] Bibliografía

    Volver a Ejercicios

  • Historia de las Matemáticas (Astroseti)

  • Temas de matemática básica.

  • Ejercicios de Matemáticas.

  • "El paraíso de las Matemáticas"

No hay comentarios:

Publicar un comentario